Funktionenfolgen/K/Zusammenfassung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

(in ${}{\mathbb {K} }$) konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

${}f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)\,$

eine sogenannte Grenzfunktion ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ definiert.

Selbst wenn (bei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$) sämtliche Funktionen ${}f_{n}$ stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.

Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ mit

$d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$

gibt.

Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion ${}f$ aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$

eine Teilmenge und es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert.

Dann ist ${}f$ stetig.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$