Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}Q\neq 0$, Polynome und es sei

   $Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$

   mit verschiedenen ${}a_{i}\in {\mathbb {C} }$. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, ${}1\leq i\leq s$, ${}1\leq j\leq r_{i}$, mit

   ${\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}.$

2. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei ${}B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei

   $\gamma \colon I\longrightarrow B$

   der stetige Weg, der den Rand von ${}B$ gleichmäßig durchläuft.

   Dann ist

   ${}\int _{\gamma }fdz=0\,.$

3. Es seien ${}0\leq r<R$ reelle Zahlen (wobei für ${}R$ auch ${}\infty$ erlaubt ist), ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring

   ${}U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$

   Dann gibt es eine auf ${}U$ konvergente Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$, die dort ${}f$ darstellt.

   Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt

   ${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,,$

   wobei ${}\gamma$ eine einfache Umrundung von ${}a$ im Kreisring ${}U$ ist.

Zur gelösten Aufgabe