Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}f'(P)\neq 0$. Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ und eine offene Umgebung ${}f(P)\in W\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}V$ biholomorph zu ${}W$ ist.
2. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei ${}B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei

   $\gamma \colon I\longrightarrow B$

   der stetige Weg, der den Rand von ${}B$ gleichmäßig durchläuft.

   Dann ist

   ${}\int _{\gamma }fdz=0\,.$

3. Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung, ${}\gamma \colon I\rightarrow X$ ein stetiger Weg und ${}z\in E$ ein Punkt mit ${}p(z)=\gamma (0)$. Dann gibt es genau einen stetigen Weg

   ${\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow E$

   mit der Eigenschaft, dass ${}p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$ und ${}{\tilde {\gamma }}(0)=z$

   ist.

Zur gelösten Aufgabe