Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung


  1. Es sei offen und eine im Punkt reell total differenzierbare Abbildung. Es sei mit reellwertigen Funktionen . Sei . Dann ist genau dann in komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen
    gelten.
  2. Es sei eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei. Dann ist konstant.
  3. Es seien reelle Zahlen (wobei für auch erlaubt ist), ein Punkt und sei eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring

    Dann gibt es eine auf konvergente Laurent-Reihe , die dort darstellt.

    Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt

    wobei eine einfache Umrundung von im Kreisring ist.