Funktoren/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}{\mathcal {C}}$ und ${}{\mathcal {D}}$ Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${}F$ von ${}{\mathcal {C}}$ nach ${}{\mathcal {D}}$ ist eine Zuordnung, die jedem Objekt ${}M\in {\mathcal {C}}$ ein Objekt ${}F(M)\in {\mathcal {D}}$ und jedem Morphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ einen Morphismus ${}F(\varphi )\colon F(M)\rightarrow F(N)$ zuordnet, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Zu Objekten ${}L,M,N\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ und ${}\psi \colon M\rightarrow N$ ist

   ${}F(\psi \circ \varphi )=F(\psi )\circ F(\varphi )\,.$

2. Es ist

   ${}F(\operatorname {Id} _{M})=\operatorname {Id} _{F(M)}\,$

   für jedes Objekt ${}M$ aus ${}{\mathcal {C}}$.

Definition

Es seien ${}{\mathcal {C}}$ und ${}{\mathcal {D}}$ Kategorien. Ein kontravarianter Funktor ${}F$ von ${}{\mathcal {C}}$ nach ${}{\mathcal {D}}$ ist eine Zuordnung, die jedem Objekt ${}M\in {\mathcal {C}}$ ein Objekt ${}F(M)\in {\mathcal {D}}$ und jedem Morphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ einen Morphismus ${}F(\varphi )\colon F(N)\rightarrow F(M)$ zuordnet, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Zu Objekten ${}L,M,N\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ und ${}\psi \colon M\rightarrow N$ ist

   ${}F(\psi \circ \varphi )=F(\varphi )\circ F(\psi )\,.$

2. Es ist

   ${}F(\operatorname {Id} _{M})=\operatorname {Id} _{F(M)}\,$

   für jedes Objekt ${}M$ aus ${}{\mathcal {C}}$.

Ein kontravarianter Funktor ist dasgleiche wie ein kovarianter Funktor auf der oppositionellen Kategorie. Von daher muss man sich prinzipiell nur mit kovarianten Funktoren beschäftigen. Von den Beispielen her wäre das aber künstlich. Bei einem kovarianten Funktor gibt es zu Objekten ${}M,N\in {\mathcal {C}}$ eine Abbildung

$\operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(M),F(N)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi )$

und bei einem kontravarianten Funktor gibt es eine Abbildung

$\operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(N),F(M)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ).$

Beispiel

Es sei ${}{\mathcal {C}}={\mathcal {D}}$ die Kategorie der Mengen und sei ${}T$ eine fixierte Menge. Dann ist die Zuordnung, die jeder Menge ${}M$ die Abbildungsmenge ${}\operatorname {Abb} \,{\left(T,M\right)}$ zuordnet, ein kovarianter Funktor. Einem Morphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ (also einfach eine Abbildung) wird dabei die Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(T,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(T,N\right)},\,\theta \longmapsto \varphi \circ \theta ,$

zugeordnet.

Beispiel

Es sei ${}{\mathcal {C}}={\mathcal {D}}$ die Kategorie der Mengen und sei ${}Z$ eine fixierte Menge. Dann ist die Zuordnung, die jeder Menge ${}M$ die Abbildungsmenge ${}\operatorname {Abb} \,{\left(M,Z\right)}$ zuordnet, ein kontravarianter Funktor. Einem Morphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ wird dabei die Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(N,Z\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,Z\right)},\,\theta \longmapsto \theta \circ \varphi ,$

zugeordnet.

Beispiel

Vektorräume/Dualraum/Kontravarianter Funktor/Beispiel