Zu einer Primidealkette p0⊂p1⊂…⊂pn{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}} aus S{\displaystyle {}S} ist die Kette φ∗(p0)⊂φ∗(p1)⊂…⊂φ∗(pn){\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})\subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})\subset \ldots \subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{n})} nach Fakt ebenfalls echt, so dass
ist. Zu einer Primidealkette q0⊂q1⊂…⊂pn{\displaystyle {}{\mathfrak {q}}_{0}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}} aus R{\displaystyle {}R} gibt es zunächst nach Fakt ein Primideal p0{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}} aus S{\displaystyle {}S} mit φ∗(p0)=q0{\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}}. Nach Fakt kann man dies sukzessive zu einer Kette p0⊂p1⊂…⊂pn{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}} mit φ∗(pi)=qi{\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{i})={\mathfrak {q}}_{i}} fortsetzen. Daher ist auch