Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Angeordneter Ring/Textabschnitt

Wir erweitern die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen zu einer Ordnung auf den ganzen Zahlen.

Definition

Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation ${}\geq$. Wir sagen

${}a\geq b\,,$

wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}a=b+n\,$

gibt.

Damit gilt bei der Interpretation an der Zahlengeraden wieder, dass

${}a\geq b\,$

bedeutet, dass ${}a$ rechts von ${}b$ liegt.

Bemerkung  

1. Wenn ${}a,b\in \mathbb {N}$ ist, so ist

   ${}a\geq b\,$

   einfach die Ordnung auf ${}\mathbb {N}$, wie unmittelbar aus Fakt folgt.

2. Wenn ${}a\in \mathbb {N}$ ist und ${}b$ negativ, so ist

   ${}a\geq b\,,$

   da ja dann

   ${}a=b+(a-b)\,$

   mit ${}a-b\in \mathbb {N}$ ist, da ja sowohl ${}a$ als auch ${}-b$ natürliche Zahlen sind.

3. Wenn ${}a$ und ${}b$ beide negativ sind, so ist

   ${}a\geq b\,$

   genau dann, wenn (innerhalb der natürlichen Zahlen)

   ${}-b\geq -a\,$

   gilt. Die Beziehung ${}a=b+n$ mit einer natürlichen Zahl ${}n$ ist ja zu ${}-a=-b-n$ äquivalent, was man als ${}-b=-a+n$ schreiben kann.

Lemma

Die Größergleichrelation ${}\geq$ auf den ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften.

1. Es liegt eine totale Ordnung vor.
2. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$,
3. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ für beliebige ${}a,b\in \mathbb {Z}$.

Beweis

1. Siehe Aufgabe.
2. Die Beziehung ${}a\geq b$ bedeutet, dass es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}a=b+n$ gibt. Durch beidseitige Addition von ${}c$ ergibt sich ${}a+c=b+c+n$, was ${}a+c\geq b+c$ bedeutet.
3. Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}a,b\in \mathbb {N}$ sind. Somit ist auch ${}ab\in \mathbb {N}$, also ${}ab\geq 0$.

$\Box$

Damit bilden die ganzen Zahlen ${}(\mathbb {Z} ,\geq )$ einen angeordneten Ring im Sinne der folgenden Definition.

Definition

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}R$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in R$,
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ für beliebige ${}a,b\in R$,

erfüllt.

Die erste Eigenschaft nennt man Verträglichkeit mit der Addition, die zweite Verträglichkeit mit der Multiplikation. Neben den ganzen Zahlen werden wir später zwei weitere angeordnete Ringe kennenlernen, nämlich den Körper der rationalen Zahlen und den Körper der reellen Zahlen. Für all diese Ringe bzw. Körper gelten die folgenden Eigenschaften. Man überlege sich für den Fall der ganzen Zahlen, ob und inwiefern sich die Beweise der folgenden Aussagen vereinfachen.

Lemma

In einem angeordneten Ring gelten die folgenden Eigenschaften.

1. ${}1\geq 0$.
2. Es ist ${}a\geq 0$ genau dann, wenn ${}-a\leq 0$ ist.
3. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}a-b\geq 0$ ist.
4. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}-a\leq -b$ ist.
5. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq d$ folgt ${}a+c\geq b+d$.
6. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$.
7. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.
8. Aus ${}a\geq b\geq 0$ und ${}c\geq d\geq 0$ folgt ${}ac\geq bd$.
9. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\leq 0$.
10. Aus ${}a\leq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\geq 0$.

Beweis

1. Nehmen wir an, dass ${}1\geq 0$ nicht gilt. Da eine totale Ordnung vorliegt, muss

   ${}1<0\,$

   gelten, Dies müssen wir zum Widerspruch führen. Nehmen wir ${}1<0$ an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig ${}-1$ addieren und erhält

   ${}0<-1\,.$

   Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

   ${}0\leq (-1)(-1)=1\,,$

   also ist zugleich ${}1\geq 0$, ein Widerspruch.

2. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
3. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
4. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
5. Zweimalige Anwendung der Verträglichkeit mit der Addition liefert

   ${}a+c\geq a+d\geq b+d\,.$

6. Aus ${}a\geq b$ ergibt sich ${}a-b\geq 0$ nach (3). Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation ergibt sich

   ${}ca-cb=c(a-b)\geq 0\,.$

   Addition mit ${}cb$ ergibt ${}ca\geq cb$.

7. Siehe Aufgabe.
8. Zweimalige Anwendung von (6) liefert

   ${}ac\geq bc\geq bd\,.$

9. Nach (2) ist ${}-b\geq 0$, also

   ${}a(-b)\geq 0\,,$

   was wiederum ${}ab\leq 0$ bedeutet.

10. Folgt aus (2) und aus ${}(-a)(-b)=ab$.

$\Box$

Die Eigenschaft (2) kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!