Garbe/Kommutative Gruppen/Linksexakt/Fakt/Beweis

Beweis

Dass ein Komplex vorliegt ist klar nach Fakt. Die Exaktheit bedeutet, dass für jeden Punkt ${}P\in X$ der Komplex

$0\longrightarrow {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {H}}_{P}$

der Halme exakt ist. Sei ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$ und ${}d(s)=0$ in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$. Dann ist ${}d(s)_{P}=0$ in jedem Punkt und somit ist ${}s_{P}=0$ für jeden Punkt. Also ist ${}s=0$ nach Fakt und die linke Abbildung ist injektiv. Es sei nun ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$ mit ${}d'(t)=0$ in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$. Die Exaktheit in den Halmen bedeutet, dass für jeden Punkt ${}P$ der Keim ${}t_{P}$ zu ${}{\mathcal {F}}_{P}$ gehört. Daraus folgt mit Aufgabe, dass ${}t$ selbst zu ${}{\mathcal {F}}$ gehört.

Zur bewiesenen Aussage