Garbenmorphismus/Garbensurjektiv/R und Kreis/Beispiel

Wir betrachten den stetigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),$

also die periodische trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Dies induziert einen Garbenmorphismus

$C^{0}(-,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(-,S^{1})$

auf jedem topologischen Raum ${}X$. Einer stetigen reellwertigen Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf ${}U\subseteq X$ wird die Hintereinanderschaltung

$\varphi \circ f\colon U\longrightarrow S^{1}$

zugeordnet. Dieser Garbenmorphismus ist surjektiv, da ${}\varphi$ lokal umkehrbar ist. Er ist aber im Allgemeinen nicht auf jeder offenen Teilmenge surjektiv. Wenn beispielsweise ${}X=S^{1}$ ist, so besitzt die Identität auf ${}S^{1}$ keine stetige Liftung nach ${}\mathbb {R}$