Gaußsche Zahlen/Produktzerlegung/Defizit/Aufgabe/Lösung

1. Wir behaupten, dass ${}2+{\mathrm {i} }$ nicht zum Bild gehört. Nehmen wir

   ${}2+{\mathrm {i} }=r\cdot s\,$

   mit ${}s\in S_{\mathbb {Q} }^{1}$ an, so hat ${}r\in \mathbb {Q} _{+}$ die Norm ${}5$. Für eine rationale Zahl ist aber die Norm einfach das Quadrat, doch ${}5$ besitzt in ${}\mathbb {Q}$ keine Quadratwurzel.

2. Sei

   ${}z=(x+y{\mathrm {i} })^{2}\,$

   mit ${}x+y{\mathrm {i} }\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. Dann ist

   ${}(x+y{\mathrm {i} })^{2}=(x^{2}+y^{2}){\frac {(x+y{\mathrm {i} })^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\,$

   und die Norm des rechten Faktors ist (wegen der Multiplikativität der Norm)

   ${}N{\left({\frac {(x+y{\mathrm {i} })^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {(x^{2}+y^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=1\,,$

   sodass also eine gesuchte Darstellung vorliegt.

3. Die Zahl ${}3$ ist nach Fakt prim in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ und somit kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Nach Fakt, Fakt, Fakt, Fakt und Fakt ist ${}3$ auch kein Quadrat in ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. Wegen

   ${}3=3\cdot 1\,$

   gehört die ${}3$ aber zum Bild.

Zur gelösten Aufgabe