Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Differentialform/Residuum/Exakt/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildungen sind nach Fakt  (4) und Fakt  (4) ${}{\mathbb {C} }$-linear. Da ${}U$ selbst ein Gebiet ist, stimmen die konstanten Funktionen mit den Funktionen überein, deren Ableitung gleich ${}0$ ist. Deshalb ist der Komplex in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ exakt. Die Surjektivität hinten ist klar, da die auf ${}U$ holomorphe Differentialform ${}{\frac {a_{1}dz}{z-P_{1}}}+\cdots +{\frac {a_{n}dz}{z-P_{n}}}$ auf das Residuentupel ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ abbildet.

Es sei eine holomorphe Funktion ${}f$ auf ${}U$ gegeben, und es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P_{i})^{n}$ die Laurent-Reihe von ${}f$ in ${}P_{i}$. Die zugehörige Differentialform

${}df=f'dz\,$

besitzt dann in ${}P_{i}$ eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Residuum. Es sei nun umgekehrt ${}\omega =hdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}U$, deren Residuen in den Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ gleich ${}0$ seien. Nach dem Residuensatz ist das Wegintegral zu ${}\omega$ in ${}U$ für jeden geschlossenen Weg ${}\gamma$ gleich ${}0$. Nach Fakt ist daher die holomorphe Differentialform ${}\omega$ exakt.

Zur bewiesenen Aussage