Gebiet/Folge/Holomorphe Funktionen/Nullstellenanzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei und sei die Grenzfunktion nicht die Nullfunktion, die Gesamtvielfachheit von unter sei aber zumindest . Es seien die Nullstellen von , die zu dieser Gesamtvielfachheit beitragen (es könnte noch weitere, auch unendlich viele Nullstellen geben). Nach Fakt liegen die Nullstellen diskret, es sei derart, dass es in außer keine weitere Nullstellen gibt, diese untereinander disjunkt sind und in enthalten sind. Es sei das (positive) Minimum von auf der Vereinigung der Ränder der Kreisscheiben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von gegen auf dieser Vereinigung ist für hinreichend groß

Wir können dann auf

Fakt anwenden und erhalten, dass die Gesamtvielfachheit der Nullstelle von ebenfalls ist im Widerspruch zur Voraussetzung.