Holomorphe Funktion/Kreisscheibenvereinigung/Nullstellenvergleich/Satz von Rouché/Fakt

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien ${}B\left(P_{i},r_{i}\right)$, ${}i=1,\ldots ,k$, zueinander disjunkte abgeschlossene Kreisscheiben in ${}U$. Es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen auf ${}U$, die auf den Rändern der Kreisscheiben die Abschätzung ${}\vert {g(z)}\vert <\vert {f(z)}\vert$ erfüllen.

Dann stimmen die Gesamtvielfachheiten der Nullstellen von ${}f$ und von ${}f+g$ auf der Vereinigung der Kreisscheiben überein.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen