Holomorphe Funktion/Kreisscheibenvereinigung/Nullstellenvergleich/Satz von Rouché/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können uns auf eine einzelne Kreisscheibe konzentrieren, es sei die Standardumrundung. Nach Voraussetzung haben weder noch Nullstellen auf dem Rand. Nach Fakt ist die Gesamtnullstellenordnung von in gleich , wobei die relevante Summe endlich ist. Nach Fakt sind diese Residuen gleich dem -fachen der Windungszahl von um den Nullpunkt. Die Wege und sind zueinander homotop in , nämlich über die Homotopie

wobei die Voraussetzung sichert, dass sich alles in abspielt. Nach Fakt  (1) stimmen die Windungszahlen von und von überein.