Wir zeigen, dass
in einer offenen Kreisscheibenumgebung von
konstant ist und daher wegen
Fakt
überhaupt konstant ist. Es sei
-
![{\displaystyle {}B\left(a,r\right)\subseteq U\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21373a79cc934918543f2a6b800d4ccac248c9e8)
Mit
Fakt
ist dann
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {f(a)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert dt\\&=\vert {f(a)}\vert ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c74711ff8c229aa1876a0f5b02a58f0a7e72f35)
daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere
-
![{\displaystyle {}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert -\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f203a7932e12e5f288f698fcd32c391685ec71)
wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach
Aufgabe
der Integrand bereits konstant gleich
. Dies gilt auch für jeden Radius
, und daher ist überhaupt
in einer offenen Umgebung von
. Aus
Fakt
ergibt sich, dass
![{\displaystyle {}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d898a4aa67d3184ece545a662f5c63925507e0)
selbst in der Umgebung konstant ist.