Gewöhnliche Differentialgleichung/Konstantes Vektorfeld/Lösung/Beispiel

Wir betrachten ein konstantes Vektorfeld auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, also eine Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto w,$

wobei ${}w\in \mathbb {R} ^{n}$ ein fixierter Vektor ist. Im „Windmodell“ bedeutet dies, dass überall und zu jeder Zeit eine konstante Windgeschwindigkeit herrscht. Die Bewegung eines (durch den Wind getragenen) Teilchens muss sich also auf der durch einen Startpunkt und den Richtungsvektor ${}w$ gegebenen Geraden vollziehen. In der Tat besitzt das Anfangswertproblem

$v'=w{\text{ und }}v(t_{0})=P$

die eindeutige (affin-lineare) Lösung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto v(t)=P+{\left(t-t_{0}\right)}w,$

wie man durch Ableiten bestätigt.