Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist sin y/Beispiel

Wir betrachten die zeitunabhängige Differentialgleichung

${}y'=\sin y\,$

für ${}y\in J={]0,\pi [}$. Nach Fakt müssen wir also ${}{\frac {1}{\sin y}}$ integrieren, eine Stammfunktion dazu ist nach Beispiel die Funktion

$H\colon J\longrightarrow J'=\mathbb {R} ,\,y\longmapsto H(y)=\ln {\left(\tan {\frac {y}{2}}\right)}.$

Die Umkehrfunktion ${}H^{-1}$ berechnet sich über ${}u=\ln {\left(\tan {\frac {y}{2}}\right)}$ zu

${}H^{-1}(y)=2\arctan {\left(e^{u}\right)}\,.$

Also haben die Lösungskurven die Gestalt

${}y(t)=2\arctan {\left(e^{t+c}\right)}\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {R}$.