Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Es wurde in Fakt gezeigt, dass eine bijektive Abbildung vorliegt. Die Addition auf der kubischen Kurve ist dadurch bestimmt, dass die drei Schnittpunkte der Kurve mit einer beliebigen projektiven Geraden die Summe ergeben, siehe Bemerkung und Definition. Es ist also zu zeigen, dass die Urbilder von drei kolinearen Punkten auf in sich zu einem Element aus aufsummieren. Wir betrachten Geraden, die durch eine affine Gleichung der Form gegeben sind, für andere Geraden siehe Aufgabe. Wir betrachten die elliptische Funktion

Diese besitzt wie einen einzigen Pol im Nullpunkt der Ordnung . Nach Fakt gibt es daher drei Punkte mit der Gesamtnullstellenordnung (dabei können die Punkte zusammenfallen). Die positive Nullstellenordnung bedeutet dabei, dass diese Punkte unter auf die vorgegebene Gerade abgebildet werden. Nach Fakt ist . Dies bedeutet in .