Gitter/Komplexe Zahlen/j-Invariante/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Ausgehend von den Eisensteinreihen legt man weitere Invarianten zu ${}\Gamma$ fest. Die Wahl der Normierungen durch relativ große Zahlen scheint zunächst willkürlich, wird aber einsichtig(er), wenn man die algebraische Gleichung für den zugehörigen komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ (siehe Fakt) berücksichtigt.

Definition

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Wir setzen

${}g_{2}=g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma )\,$

und

${}g_{3}=g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma )\,,$

wobei ${}G_{4}$ und ${}G_{6}$ die Werte der Eisensteinreihen sind.

Definition

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Wir setzen

${}\Delta (\Gamma ):=g_{2}^{3}(\Gamma )-27g_{3}^{2}(\Gamma )\,$

und nennen dies die Diskriminante des Gitters ${}\Gamma$.

Definition

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Man nennt

${}j(\Gamma ):={\frac {{\left(12g_{2}(\Gamma )\right)}^{3}}{\Delta (\Gamma )}}\,$

die absolute Invariante oder die ${}j$-Invariante des Gitters ${}\Gamma$.

Statt von der absoluten Invarianten spricht man auch von der ${}j$-Invarianten oder der universellen Invarianten.

Bemerkung  

Für ein Gitter der Form ${}\Gamma =\mathbb {Z} \tau \oplus \mathbb {Z} \subseteq {\mathbb {C} }$ setzt man ${}g_{2}(\tau )=g_{2}(\Gamma )$, ${}g_{3}(\tau )=g_{3}(\Gamma )$, ${}\Delta (\tau )=\Delta (\Gamma )$ und ${}j(\tau )=j(\Gamma )$.

Lemma

Für ein Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ und ${}s\in {\mathbb {C} }^{\times }$ gelten die folgenden Regeln.

1. Es ist

   ${}g_{2}(s\Gamma )=s^{-4}g_{2}(\Gamma )\,.$

2. Es ist

   ${}g_{3}(s\Gamma )=s^{-6}g_{3}(\Gamma )\,.$

3. Es ist

   ${}\Delta (s\Gamma )=s^{-12}\Delta (\Gamma )\,.$

4. Es ist

   ${}j(s\Gamma )=j(\Gamma )\,.$

Beweis

Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus Fakt  (4). Daraus ergeben sich auch die beiden anderen Aussagen.

$\Box$

Die Eigenschaft Fakt  (4) besagt, dass die ${}j$-Invariante von streckungsäquivalenten Gittern gleich ist.

Beispiel

Wir betrachten das Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }$, für das die Multiplikation mit ${}{\mathrm {i} }$ das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Fakt  (2) auf ${}s={\mathrm {i} }$ an und erhalten

${}g_{3}(\Gamma )=g_{3}({\mathrm {i} }\Gamma )={\mathrm {i} }^{-6}g_{3}(\Gamma )\,.$

Daraus folgt ${}g_{3}(\Gamma )=0$.

Beispiel

Wir betrachten das Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$, für das die Multiplikation mit ${}{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Fakt  (1) auf ${}s={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ an und erhalten

${}g_{2}(\Gamma )=g_{2}{\left(\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)\Gamma \right)}=\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)^{-4}g_{2}(\Gamma )\,.$

Daraus folgt ${}g_{2}(\Gamma )=0$.