Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Gruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Verknüpfung ist wohldefiniert, da auf einer glatten Kurve vom Grad wohldefiniert ist. Die Verknüpfung ist kommutativ, da dies für gilt. Es ist

Rechts steht der neben und dritte Punkt der dadurch definierten Geraden . Dieser Punkt definiert aber mit eben diese Gerade, und daher ist der dritte Punkt darauf neben diesem Punkt und wiederum gleich . Das bedeutet, dass das neutrale Element ist. Ferner ist

wobei die letzte Gleichheit darauf beruht, dass ein Wendepunkt ist.

Zum Nachweis der Assoziativität betrachten wir die folgenden Geraden mit jeweils drei relevanten Punkten, die auf der elliptischen Kurve liegen.

  1. durch .
  2. durch .
  3. durch .
  4. durch .
  5. durch .
  6. durch .

Es sei

und

die selbst kubische Kurven sind, ihr Durchschnitt mit besteht aus den angeführten neun Punkten, die im Allgemeinen aber mit Multiplizitäten auftreten können. Wir nehmen an, dass alle Punkte verschieden sind, die anderen Situationen erfordern Sonderbetrachtungen, siehe Aufgabe. Die Schnittpunkte sind also

die Schnittpunkte sind die gleichen Punkte mit der Ausnahme, dass ganz hinten steht. Nach Fakt folgt in dieser Situation aber (wir können zum algebraischen Abschluss übergehen)