Glatte projektive Kurve/C/Riemannsche Fläche/Geschlecht/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt kann man die erste Kohomologie der holomorphen Strukturgarbe durch

berechnen. In der algebraischen Situation gibt es die kurze exakte Garbensequenz

wobei die konstante Garbe auf der Zariski-Topologie mit dem Funktionenkörper bezeichnet. Diese Garbe ist insbesondere welk und ihre erste Kohomologie verschwindet daher. Die Quotientengarbe kann man punktweise berechnen, die Halme in einem Punkt sind . Da ein diskreter Bewertungsring mit einer Ortsuniformisierenden und sein Quotientenkörper mit ist, gilt

nach Aufgabe. Es liegt also die gleiche Hauptteilstruktur wie im analytischen Fall vor. Somit stimmt die Garbe der analytischen Hauptteilverteilungen mit der Garbe der algebraischen Hauptteilverteilungen (wo sie definiert ist) überein. Nach Fakt ist

also hat man für und identische Beschreibungen.