Glatte projektive Kurve/Lokal freie Garbe/Riemann-Roch/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über den Rang ${}r$, wobei der Induktionsanfang ${}r=1$ durch Fakt gesichert ist. Es sei eine lokal freie Garbe vom Rang ${}r$ gegeben. Wir ziehen eine Filtation

${}0={\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}_{r-1}\subset {\mathcal {F}}_{r}\,$

mit invertierbaren Quotienten ${}{\mathcal {F}}_{i+1}/{\mathcal {F}}_{i}$ heran, die es nach Fakt gibt. Insbesondere gibt es eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow {\mathcal {F}}_{r-1}\longrightarrow {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}_{r}/{\mathcal {F}}_{r-1}\longrightarrow 0.$

Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gilt die Formel von Riemann-Roch für ${}{\mathcal {F}}_{r-1}$ und wegen Fakt gilt sie für die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {F}}_{r}/{\mathcal {F}}_{r-1}$. Da die Euler-Charakteristik, also

${}\chi {\left({\mathcal {G}}\right)}=h^{0}(C,{\mathcal {G}})-h^{1}(C,{\mathcal {G}})\,$

nach Fakt additiv für kurze exakte Sequenzen und da der Grad von lokal freien Garben nach Fakt ebenfalls additiv für kurze exakte Sequenzen ist, gilt die Formel auch für ${}{\mathcal {F}}$.

Zur bewiesenen Aussage