Glatte projektive Varietät/Endlicher Körper/Zeta-Funktion/Weil-Vermutungen/Elliptische Kurven/Bemerkung

Es sei ${}X$ eine glatte projektive Varietät über einem endlichen Körper ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, es sei ${}N_{r}$ die Anzahl der ${}{\mathbb {F} }_{q^{r}}$-rationalen Punkte Punkte von ${}X$ mit der zugehörigen Zeta-Funktion

${}Z(t)=\exp \left(\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}\right)\,.$

André Weil formulierte 1949 eine Reihe von Vermutungen über das Verhalten dieser Funktion und damit der Anzahlen ${}N_{r}$, die er selbst für Kurven bewies. Diese Vermutungen motivierten Alexander Grothendieck zur Einführung der étalen bzw. der ${}\ell$-adischen Kohomologie (die Tate-Moduln kann man als ${}\ell$-adische Homologiegruppen ansehen), mit deren Hilfe 1973 Pierre Deligne letztlich die Vermutungen bestätigte. Die wichtigsten allgemeinen Resultate, die wir im elliptischen Fall gezeigt haben, sind die folgenden.

1. Es gibt ganzzahlige Polynome ${}P_{i}(t)$ für ${}0\leq i\leq 2n$ mit

   ${}Z(t)={\frac {P_{1}(t)\cdot P_{3}(t)\cdot P_{5}(t)\cdots P_{2n-1}(t)}{P_{0}(t)\cdot P_{2}(t)\cdot P_{4}(t)\cdots P_{2n}(t)}}\,.$

   Insbesondere ist die Zeta-Funktion eine rationale Funktion. Dies bedeutet, dass endlich viele der Werte ${}N_{r}$ schon alle Werte festlegen (Dwork, Grothendieck). Es gilt ${}P_{0}(t)=1-t$ und ${}P_{2n}(t)=1-q^{n}t$. Für den elliptischen Fall siehe Fakt.

2. Die Grade der Polynome ${}P_{i}$ aus Teil (1) haben eine geometrische Bedeutung. Ihr Grad ist die Vektorraumdimension der ${}i$-ten ${}\ell$-adischen Kohomologie ${}H^{i}(X,\mathbb {Q} _{\ell })$. Man spricht von den ${}\ell$-adischen Betti-Zahlen. Wenn ${}X$ durch Reduktion modulo ${}p$ von einer Varietät (Schema) ${}{\mathcal {X}}$ über ${}\mathbb {Z}$ (oder einem Zahlbereich) herrührt, so kann man auch die zugehörige Varietät über ${}\mathbb {Q}$ und über ${}{\mathbb {C} }$ betrachten. Diese Varietät hat (als komplexe Mannigfaltigkeit) topologische Betti-Zahlen, die man beispielsweise mit der singulären Kohomologie ausrechnen kann. Diese Betti-Zahlen stimmen mit den ${}\ell$-adischen Betti-Zahlen der Reduktion überein. Im Fall einer elliptischen Kurve sind die Betti-Zahlen gleich ${}1,2,1$.
3. Die Polynome ${}P_{i}$ aus Teil (1) besitzen über ${}{\mathbb {C} }$ (bzw. über einer geeigneten algebraischen Erweiterung von ${}\mathbb {Q}$) eine Zerlegung in lineare Faktoren

   ${}P_{i}=\prod _{j}(1-\alpha _{ij}t)\,.$

   Dabei gilt

   ${}\vert {\alpha _{ij}}\vert =q^{i/2}\,.$

   Diese Eigenschaft ist analog zur Riemannschen Hypothese. Für den elliptischen Fall siehe Fakt  (3)

4. Es gilt eine Funktionalgleichung für die Zeta-Funktion, die Fakt verallgemeinert.