Glatte projektive ebene Kurve/Getwistete Strukturgarbe/Grad/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können annehmen, da das Zurückziehen von Garben mit der Tensorierung verträglich ist und da der Grad nach Aufgabe additiv bezüglich der Tensorierung von invertierbaren Garben ist. Es sei

ein Schnitt, der als Polynom in kein Vielfaches von sei. Dann kann man auch als einen von verschiedenen Schnitt in

betrachten. Es geht um den Grad des Nullstellendivisors zu auf . Sei ein Punkt der Kurve. Die Nullstellenordnung eines Schnittes einer invertierbaren Garbe kann man in einer affinen Umgebung des Punktes ausrechnen. Ohne Einschränkung sei und . Die affine Gleichung der Kurve ist dann die Dehomogenisierung von bezüglich der Variablen und der Schnitt wird unter der Identifizierung

gleich der Dehomogenisierung von . Der lokale Ring der Kurve ist

und die Ordnung von in diesem Ring ist nach Fakt gleich der -Dimension von

Diese Beschreibung ist symmetrisch in und . Deshalb ist der Grad des Nullstellendivisors zu auf gleich dem Grad des Nullstellendivisors zu auf . Für ein homogenes Polynom vom Grad auf einer projektiven Geraden ist aber die Summe über alle Nullstellenordnungen gleich .