Glatte projektive ebene Kurve/Getwistete Strukturgarbe/Grad/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können ${}e=1$ annehmen, da das Zurückziehen von Garben mit der Tensorierung verträglich ist und da der Grad nach Aufgabe additiv bezüglich der Tensorierung von invertierbaren Garben ist. Es sei

${}G\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(1)\right)}=K[X,Y,Z]_{1}\,$

ein Schnitt, der als Polynom in ${}K[X,Y,Z]$ kein Vielfaches von ${}F$ sei. Dann kann man ${}G$ auch als einen von ${}0$ verschiedenen Schnitt in

${}\Gamma {\left(C,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(1){|}_{C}\right)}=\Gamma {\left(C,{\mathcal {O}}_{C}(1)\right)}\,$

betrachten. Es geht um den Grad des Nullstellendivisors zu ${}G$ auf ${}C=V_{+}(F)$. Sei ${}P=(a,b,c)\in V_{+}(F)$ ein Punkt der Kurve. Die Nullstellenordnung eines Schnittes einer invertierbaren Garbe kann man in einer affinen Umgebung des Punktes ausrechnen. Ohne Einschränkung sei ${}c=1$ und ${}P\in D_{+}(Z)$. Die affine Gleichung der Kurve ist dann die Dehomogenisierung von ${}F$ bezüglich der Variablen ${}Z$ und der Schnitt wird unter der Identifizierung

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}{|}D_{+}(Z)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(1){|}D_{+}(Z),\,1\longmapsto Z$

gleich der Dehomogenisierung ${}G'$ von ${}G$. Der lokale Ring der Kurve ist

${}{\mathcal {O}}_{C,P}={\left(K[{\frac {X}{Z}},{\frac {Y}{Z}}]/(F')\right)}_{({\frac {X}{Z}}-a,{\frac {Y}{Z}}-b)}\,$

und die Ordnung von ${}G'$ in diesem Ring ist nach Fakt gleich der ${}K$-Dimension von

${}{\mathcal {O}}_{C,P}/(G')={\left(K[{\frac {X}{Z}},{\frac {Y}{Z}}]/(F')\right)}_{({\frac {X}{Z}}-a,{\frac {Y}{Z}}-b)}/(G')=K[{\frac {X}{Z}},{\frac {Y}{Z}}]_{({\frac {X}{Z}}-a,{\frac {Y}{Z}}-b)}/(F',G')\,.$

Diese Beschreibung ist symmetrisch in ${}F$ und ${}G$. Deshalb ist der Grad des Nullstellendivisors zu ${}G$ auf ${}V_{+}(F)$ gleich dem Grad des Nullstellendivisors zu ${}F$ auf ${}V_{+}(G)={\mathbb {P} }_{K}^{1}$. Für ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$ auf einer projektiven Geraden ist aber die Summe über alle Nullstellenordnungen gleich ${}d$.

Zur bewiesenen Aussage