Gradient/x^2y-z^3xe^xyz/Aufgabe/Kommentar

Zur Wiederholung, der Gradient gehört nach Definition zu einer differenzierbaren Funktion

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die von einer offenen Teilmenge eines euklidischen Vektorraums ${}G\subset V$ in die reellen Zahlen abbildet. Euklidisch ist wichtig, da wir dann ein Skalarprodukt haben und somit das total Differential ${}(Df)_{P}$ zu einem festen Punkt ${}P\in G$ (welches eine lineare Funktion von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$ ist, siehe die Definition) mit Hilfe eines eindeutigen Vektors ${}w\in V$ und des Skalarproduktes darstellen lässt. Das heißt es gibt ein ${}w\in V$, sodass wir für alle ${}v\in V$

$(Df)_{P}(v)=\left\langle w,v\right\rangle$

haben. Der Vektor ${}w$ wird dann Gradient (zum gewählten Skalarprodukt) genannt.

In dieser Aufgabe ist nicht erwähnt, welches Skalarprodukt verwendet werden soll, deshalb gehen wir von dem Standardskalarprodukt aus. Das totale Differential von ${}f$ ist bezüglich der Standardbasis in ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$ nach Fakt gegeben durch

${}(Df)_{P}=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)\right)\,.$

Die partiellen Ableitungen müssen noch berechnet werden, das bleibt Übung. Es ist ein Zeilenvektor, der (als Matrix mit einer Zeile aufgefasst) die lineare Abbildung des totalen Differentials in der Standardbasis repräsentiert. Das totale Differential wirkt demnach auf einen Vektor im ${}v\in \mathbb {R} ^{3}$, als Spaltenvektor aufgefasst, durch die übliche Zeile-mal-Spalte Matrix-Vektor-Multiplikation. Dies ist aber nichts anderes als das Standardskalarprodukt des totalen Differentials und des Vektors ${}v$. Deswegen ist in diesem Fall der Gradient schon der Zeilenvektor des totalen Differentials als Element im ${}\mathbb {R} ^{3}$ aufgefasst,

${}\operatorname {Grad} \,f(P)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}(P)\\{\frac {\partial f}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

Zur kommentierten Aufgabe