Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jedem Charakter

$\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$

ist die durch

${}\varphi _{\chi }{\left(\sum _{d\in D}a_{d}\right)}=\sum _{d\in D}\chi (d)\cdot a_{d}$ definierte Abbildung ${}\varphi _{\chi }$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente ${}a_{d}\in A_{d}$ und ${}a_{e}\in A_{e}$ aus

${}\varphi _{\chi }(a_{d}\cdot a_{e})=\chi (d+e)a_{d}\cdot a_{e}=\chi (d)\cdot \chi (e)a_{d}\cdot a_{e}=\varphi _{\chi }(a_{d})\cdot \varphi _{\chi }(a_{e})\,,$

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für ${}a\in A_{0}$ (und insbesondere für ${}a\in K$) ist ferner ${}\varphi _{\chi }(a)=\chi (0)a=a$, sodass ein ${}K$-Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere ${}\chi _{1},\chi _{2}\in \operatorname {Char} \,(D,K)$ gegeben. Für ein homogenes Element ${}a_{d}\in A_{d}$ ist

${}{\begin{aligned}\varphi _{\chi _{1}\cdot \chi _{2}}(a_{d})&={\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \chi _{2}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\\&=\varphi _{\chi _{1}}{\left(\varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\right)}\\&={\left(\varphi _{\chi _{1}}\circ \varphi _{\chi _{2}}\right)}(a_{d}),\end{aligned}}$

sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

${}\varphi _{\chi }\circ \varphi _{\chi ^{-1}}=\varphi _{\chi \circ \chi ^{-1}}=\varphi _{1}=\operatorname {Id} _{A}\,,$

sodass jedes ${}\varphi _{\chi }$ ein ${}K$-Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei ${}\chi \neq 1$ gibt es ein ${}d\in D$ mit ${}\chi (d)\neq 1$. Nach Voraussetzung ist

${}A_{d}\neq 0\,,$

sei also ${}a\in A_{d}$, ${}a\neq 0$. Damit ist ${}\varphi _{\chi }(a)=\chi (d)a\neq a$, da ${}\chi (d)-1$ eine Einheit ist. Also ist ${}\varphi _{\chi }\neq \operatorname {Id} _{A}$.

Zur bewiesenen Aussage