Graduierter Ring/Gruppenhomomorphismus der graduierenden Gruppe/Beziehung zu Charakteren/Aufgabe

Es sei ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}R$ ein kommutativer ${}D$-graduierter Ring. Es sei

$\pi \colon D\longrightarrow E$

ein Gruppenhomomorphismus mit ${}F=\operatorname {kern} \pi$. Zeige folgende Aussagen.

1. ${}R$ ist in natürlicher Weise ${}E$-graduiert.
2. Die Operation von ${}E^{\vee }$ auf ${}R$ im Sinne von Fakt stimmt mit der Operation via

   $\pi ^{\vee }\colon E^{\vee }\longrightarrow D^{\vee }$

   überein.

3. Die neutrale Stufe von ${}R$ bezüglich der ${}E$-Graduierung ist ${}\bigoplus _{d\in F}R_{d}$. Dieser Ring ist ${}F$-graduiert und seine neutrale Stufe stimmt mit der neutralen Stufe von ${}R$ in der ${}D$-Graduierung überein.
4. Vergleiche die letzte Aussage mit Fakt.

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