Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Garbe/Quasikohärenz/Fakt

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter ${}R$-Modul. Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu ${}R$ und ${}{\widehat {M}}$ der zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modul. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. ${}{\widehat {M}}$ ist ein quasikohärenter Modul.
2. Zu einem homogenen Element ${}f\in R_{+}$ ist

   ${}\Gamma {\left(D_{+}(f),{\widehat {M}}\right)}={\left(M_{f}\right)}_{0}\,.$

   Ferner ist ${}{\widehat {M}}$ eingeschränkt auf ${}D_{+}(f)$ gleich der affinen Vergarbung von ${}{\left(M_{f}\right)}_{0}$ auf ${}D_{+}(f)=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}$.

3. Zu einem homogenen Primideal ${}R_{+}\not \subseteq {\mathfrak {p}}$ ist

   ${}{\widehat {M}}_{\mathfrak {p}}=M_{({\mathfrak {p}})}\,.$

4. Es ist

   ${}\Gamma {\left(Y,{\widehat {M}}\right)}={\left(\Gamma {\left(D(R_{+}),{\widetilde {M}}\right)}\right)}_{0}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen