Graph/Gradient und Volumenform/Beispiel

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,

$h\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und ${}M\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n+1}$ der zugehörige Graph, den wir als ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit auffassen, die zu ${}V$ über ${}(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{1},\ldots ,x_{n},h(x_{1},\ldots ,x_{n}))$ diffeomorph ist. Diese Mannigfaltigkeit ist zugleich die Faser über ${}0$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n+1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n},y)\longmapsto h(x_{1},\ldots ,x_{n})-y.$

Der Gradient dieser Abbildung ist

$\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P),\,-1\right)$

Nach Fakt liefert daher die Zuordnung

$(v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto \det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P)&v_{11}&\ldots &v_{n1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)&v_{1n}&\ldots &v_{nn}\\-1&v_{1n+1}&\ldots &v_{nn+1}\end{pmatrix}}$

eine stetige nullstellenfreie ${}n$-Form ${}\omega$ auf ${}M$. Wenn man diese Form über die oben beschriebene (einzige) Karte nach ${}V$ zurückzieht, so ist ${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$, wobei sich ${}f(Q)$ als Wert der Form ${}\omega$ im Punkt ${}\alpha ^{-1}(Q)\in M$ bezüglich der Vektoren ${}T_{Q}(\alpha ^{-1})(e_{1}),\ldots ,T_{Q}(\alpha ^{-1})(e_{n})$ ergibt. Wegen ${}T_{Q}(\alpha ^{-1})(e_{i})=(e_{i},{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(Q))$ ist dies

${}f(Q)=\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(Q)&1&0&\ldots &0\\{\frac {\partial h}{\partial x_{2}}}(Q)&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(Q)&0&0&\ldots &1\\-1&{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(Q)&{\frac {\partial h}{\partial x_{2}}}(Q)&\ldots &{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(Q)\end{pmatrix}}=\pm {\left({\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(Q)\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(Q)\right)}^{2}+1\right)}\,,$

wobei das Vorzeichen von ${}n$ abhängt.