Es sei
eine offene Teilmenge,
-
eine
stetig differenzierbare Funktion
und
der zugehörige Graph, den wir als
-dimensionale
differenzierbare Mannigfaltigkeit
auffassen, die zu
über
diffeomorph
ist. Diese Mannigfaltigkeit ist zugleich die Faser über
unter der Abbildung
-
Der Gradient dieser Abbildung ist
-
Nach
Fakt
liefert daher die Zuordnung
-
eine stetige nullstellenfreie
-Form
auf
. Wenn man diese Form über die oben beschriebene
(einzige)
Karte nach
zurückzieht, so ist
,
wobei sich
als Wert der Form
im Punkt
bezüglich der Vektoren
ergibt. Wegen
ist dies
-
![{\displaystyle {}f(Q)=\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(Q)&1&0&\ldots &0\\{\frac {\partial h}{\partial x_{2}}}(Q)&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(Q)&0&0&\ldots &1\\-1&{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(Q)&{\frac {\partial h}{\partial x_{2}}}(Q)&\ldots &{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(Q)\end{pmatrix}}=\pm {\left({\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(Q)\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(Q)\right)}^{2}+1\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6061676a15ce16b23687189ba9d1a48e6c8cbc1)
wobei das Vorzeichen von
abhängt.