Großer Fermat/Kreisteilung/Zahlbereich/Motivation/Textabschnitt

Eine besondere Herausforderung innerhalb der Zahlentheorie sind diophantische Gleichungen.

Definition

Zu einem Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ heißt

${}F(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,$

eine diophantische Gleichung. Unter einer Lösung einer diophantischen Gleichung versteht man ein ganzzahliges Zahlentupel ${}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}$, das in ${}F$ eingesetzt ${}0$ ergibt.

Die Pellsche Gleichung haben wir schon erwähnt, bei linearen diophantischen Gleichungen ist das Lösungsverhalten einfach zu verstehen, die Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,$

ist die Frage nach Pythagoreischen Tripeln, was ebenfalls gut verstanden ist. Eine wesentliche Frage bei diophantischen Gleichungen ist, ob es überhaupt, eventuell abgesehen von trivialen Lösungen, ganzzahlige Lösungen gibt. Ein weiteres wichtiges Problem ist, ob es endlich viele oder unendlich viele ganzzahlige Lösungen gibt. Ein großes zahlentheoretisches Problem, das erst 1995 gelöst wurde, ist das Problem von Fermat, ob die Gleichung

${}x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$

mit ${}n\geq 3$ nichttriviale ganzzahlige Lösungen ${}(x,y,z)$ besitzt, in denen alle Einträge nicht ${}0$ sind.

Andrew Wiles (*1953)

Satz

Die diophantische Gleichung

${}x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$

besitzt für kein ${}n\geq 3$ eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.

Beweis

Der Beweis für diese Aussage geht bei Weitem über den Inhalt einer Vorlesung über elementare oder algebraische Zahlentheorie hinaus.

$\Box$

Der Beweis für diesen Satz verwendet die reichhaltige Theorie der elliptischen Kurven. Vor diesem Beweis wurden die besten Resultate zu diesem Problem mit Methoden der algebraischen Zahlentheorie erzielt, und zwar konnten sehr viele Exponenten erledigt werden. Die Grundidee geht folgendermaßen: Die Fermat-Gleichung erhält einen neuartigen Charakter, wenn man sie in dem Ring betrachten, der aus ${}\mathbb {Z}$ entsteht, wenn man eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta$ hinzunimmt. Das ist eine Zahl, deren ${}n$-te Potenz ${}1$ ist. Solche Einheitswurzeln gibt es innerhalb der komplexen Zahlen, beispielsweise ist ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel. Wichtig sind hier aber die algebraischen Eigenschaften. Jedenfalls kann man die etwas umgeschriebene Fermatgleichung

${}x^{n}-z^{n}=-y^{n}\,$

unter Verwendung einer primitiven Einheitswurzel als

${}x^{n}-z^{n}=(x-z)(x-\zeta z)\cdots (x-\zeta ^{n-1}z)=-y^{n}\,$

schreiben. Somit hat man zwei ziemlich verschiedene Faktorzerlegungen einer Zahl. Wenn man jetzt noch was weiß, dass in diesem neuen Ring die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt, so kann man (das sind dann immer noch mehrere Schritte) daraus einen Widerspruch ableiten. An dieser STelle gibt es eine schlechte und eine gute Nachricht: Diese Ringe besitzen häufig nicht die eindeutige Primfaktorzerlegung, das angedeutete Argument funktioniert aber auch noch dann, wenn man weiß, dass die sogenannte Klassengruppe des Ringes eine gewisse Eigenschaft erfüllt, die deutlich schwächer als die eindeutige Primfaktorzerlegung ist.

Für ${}n=4$ ist die imaginäre Einheit ${}{\mathrm {i} }$ eine vierte primitive Einheitswurzel (wegen ${}{\mathrm {i} }^{4}=1$), in diesem Fall gilt

${}y^{4}-z^{4}=(x-z)(x-{\mathrm {i} }z)(x+z)(x+{\mathrm {i} }z)=-y^{4}\,$

und man kann die Situation im Ring der Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ analysieren.

Beispiel

Als Kuriosität erwähnen wir, dass die von Euler vermutete teilweise Verallgemeinerung des Fermatschen Problems, dass die Gleichungen

${}x^{4}+y^{4}+z^{4}=u^{4}\,,$

${}x^{5}+y^{5}+z^{5}+u^{5}=v^{5}\,,$

usw. keine ganzzahlige Lösung besitzen, also dass zwischen ${}n$ ${}n$-ten Potenzen keine additive Beziehung bestehen kann, nicht gilt. Die einfachsten Gegenbeispiele sind

${}95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}\,$

und

${}27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}\,.$