Es sei
fixiert. Dass die Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist, ist eine Umformulierung
der Potenzgesetze.
Wegen
![{\displaystyle {}\varphi _{g}(1)=g^{1}=g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c7ef49e8720f5a4348f2fb371b3fd544d28551)
erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus
![{\displaystyle {}\varphi :\mathbb {Z} \rightarrow G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ef023b60723f91cef3ccbca900245b6d02a5a1)
durch
![{\displaystyle {}\varphi (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58975e2b6aef3bb93a0ab83d99d5d96ea2d68010)
eindeutig festgelegt, da
![{\displaystyle {}\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665792cfbc1d5aef90aa58f220de37bf4d408bc4)
für
![{\displaystyle {}n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f1551c84124ced21a5db61d4add476ed93e589)
positiv und
![{\displaystyle {}\varphi (n)=((\varphi (1))^{-1})^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e115a9bea666471db3702e400d68d4d86e2391d3)
für
![{\displaystyle {}n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f1551c84124ced21a5db61d4add476ed93e589)
negativ gelten muss.