Gruppentheorie/Links und Rechtsnebenklassen/Beispiele/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Wir setzen ${}x\sim _{H}y$ (und sagen, dass ${}x$ und ${}y$ äquivalent sind) wenn ${}x^{-1}y\in H$.

Dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation: Aus ${}x^{-1}x=e_{G}\in H$ folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus ${}x^{-1}y\in H$ folgt sofort ${}y^{-1}x=(x^{-1}y)^{-1}\in H$ und aus ${}x^{-1}y\in H$ und ${}y^{-1}z\in H$ folgt ${}x^{-1}z\in H$.

Zwei Gruppenelemente ${}x$ und ${}y$ sind genau dann äquivalent, wenn es ein Element ${}h\in H$ der Untergruppe mit ${}y=xh$ gibt. In Anschluss an Beispiel kann man die Situation so interpretieren, dass die Untergruppe ${}H$ eine Menge an Bewegungsmöglichkeiten festlegt, und zwei Elemente genau dann äquivalent sind, wenn sie durch eine solche durch ${}H$ gegebene Bewegung ineinander überführt werden können.

Beispiel

In einer (additiv geschriebenen) kommutativen Gruppe wie ${}\mathbb {Z}$ oder einem Vektorraum ${}V$ und einer Untergruppe ${}H$ bedeutet ${}x\sim _{H}y$, dass ${}y-x\in H$ ist bzw. dass es ein ${}h\in H$ mit

${}y=x+h\,$

gibt. Die Äquivalenzklassen sind von der Form ${}x+H={\left\{x+h\mid h\in H\right\}}$. Bei ${}H=\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$ mit einem festen ${}d$ besitzen die Äquivalenzklassen die Form

$H=\mathbb {Z} d,\,1+H=\{\ldots ,1-d,1,1+d,1+2d,\ldots \},\,2+H=\{\ldots ,2-d,2,2+d,2+2d,\ldots \},\ldots .$

Die Klassen vereinigen diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch ${}d$ den Rest ${}0$ oder ${}1$ oder ${}2$ u.s.w. haben. Diese Klassen bilden eine vollständige Zerlegung von ${}\mathbb {Z}$.

Die Äquivalenzklassen zu einem Untervektorraum.

Wenn ${}H=U\subseteq V$ ein Untervektorraum ist, so haben die Äquivalenzklassen die Form ${}v+U={\left\{v+u\mid u\in U\right\}}$ für einen Vektor ${}v\in V$. Dies ist der affine Raum mit dem Aufpunkt ${}v$ und dem Verschiebungsraum ${}U$ (im Sinne von Definition). Die Äquivalenzklassen bilden eine Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen.

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem ${}x\in G$ die Teilmenge

${}xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$

die Linksnebenklasse von ${}x$ in ${}G$ bezüglich ${}H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

${}Hx={\left\{hx\mid h\in H\right\}}\,$

Rechtsnebenklasse (zu ${}x$).

Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen

${}{\begin{aligned}{[}x{]}&={\left\{y\in G\mid x\sim y\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid x^{-1}y\in H\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid {\text{es gibt }}h\in H{\text{ mit }}x^{-1}y=h\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid {\text{es gibt }}h\in H{\text{ mit }}y=xh\right\}}\\&=xH\end{aligned}}$

genau die Linksnebenklassen. Die Nebenklasse zum neutralen Element ist die Untergruppe ${}H$ selbst. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung (eine Partition) von ${}G$. Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Es seien ${}x,y\in G$ Elemente.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}x\in yH$.
2. ${}y\in xH$.
3. ${}y^{-1}x\in H$.
4. ${}x^{-1}y\in H$.
5. ${}xH\cap yH\neq \emptyset$.
6. ${}x\sim _{H}y$.
7. ${}xH=yH$.

Beweis

Die Äquivalenz von ${}(1)$ und ${}(3)$ (und die von ${}(2)$ und ${}(4)$) folgt aus Multiplikation mit ${}y^{-1}$ bzw. mit ${}y$. Die Äquivalenz von ${}(3)$ und ${}(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus ${}(1)$ folgt ${}(5)$ wegen ${}1\in H$. Wenn ${}(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das ${}xh_{1}=yh_{2}$ mit gewissen ${}h_{1},h_{2}\in H$. Damit ist ${}x=yh_{2}h_{1}^{-1}$ und ${}(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition äquivalent. Da die Linksnebenklassen die Äquivalenzklassen sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).

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