Gruppentheorie/Z/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt

Wir schauen uns kurz die Addition in einem kommutativen Ring genauer an. Hier begegnen wir einer Struktur, die später bei Körpern wieder auftaucht. Mit dieser Struktur kann man viele strukturelle Gemeinsamkeiten zwischen der Addition (in ${}\mathbb {Z}$) und der Multiplikation (beispielsweise in ${}\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ oder in ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$) erfassen.

Definition

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt

   ${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$

2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt

   ${}g\circ e=g=e\circ g\,.$

3. Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit

   ${}h\circ g=g\circ h=e\,.$

Definition

Eine Gruppe ${}(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also ${}x\circ y=y\circ x$ für alle ${}x,y\in G$ gilt.

Lemma

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann ist zu jedem ${}x\in G$ das Element ${}y\in G$ mit

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

eindeutig bestimmt.

Beweis

Es sei

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

und

${}x\circ z=z\circ x=e\,.$

Dann ist

${}y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$

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Ein kommutativer Ring ${}R$ ist bezüglich der Addition insbesondere eine kommutative Gruppe. Insbesondere bilden die ganzen Zahlen ${}(\mathbb {Z} ,0,+)$ eine kommutative Gruppe, das inverse Element zu ${}x$ ist das negative Element ${}-x$. Allgemein gilt in Gruppen die eindeutige Lösbarkeit von mit der Verknüpfung formulierten Gleichungen.

Lemma

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen ${}a,b\in G$ die beiden Gleichungen

$a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$

eindeutige Lösungen ${}x,y\in G$.

Beweis

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit ${}a^{-1}$ (bzw. mit ${}a$) von links folgt, dass nur

${}x=a^{-1}\circ b\,$

als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.

$\Box$