Harmonischer Oszillator/Differentialgleichungssystem/Beispiel

Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft (bzw. Beschleunigung) in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante gelangt man zur linearen Differentialgleichung (zweiter Ordnung)

die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir und , zum Zeitpunkt soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit besitzen. Man kann sofort die Lösung

angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem

Das charakteristische Polynom ist

und Eigenvektoren sind (zum Eigenwert ) und (zum Eigenwert ). Die allgemeine komplexe Lösung ist also nach Fakt gleich

wobei letztlich nur die erste Zeile (der Realteil) interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu

Also ist und . Daher ist die Lösung

nach Fakt.