Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Siehe Aufgabe.
2. Klar.
3. Eine mehrfache Anwendung von (2) liefert

   ${}{\begin{aligned}p_{U}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})+p_{U^{\perp }}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})&=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}\\&=a_{1}p_{U}(v_{1})+a_{1}p_{U^{\perp }}(v_{1})+a_{2}p_{U}(v_{2})+a_{2}p_{U^{\perp }}(v_{2})\\&=a_{1}p_{U}(v_{1})+a_{2}p_{U}(v_{2})+a_{1}p_{U^{\perp }}(v_{1})+a_{2}p_{U^{\perp }}(v_{2}).\end{aligned}}$

   Die Linearität folgt durch Vergleich der Summanden in ${}U$ und in ${}U^{\perp }$. Wegen

   ${}{\begin{aligned}\Vert {v}\Vert ^{2}&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\left\langle p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v),p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v)\right\rangle \\&=\left\langle p_{U}(v),p_{U}(v)\right\rangle +\left\langle p_{U^{\perp }}(v),p_{U^{\perp }}(v)\right\rangle \\&=\Vert {p_{U}(v)}\Vert ^{2}+\Vert {p_{U^{\perp }}(v)}\Vert ^{2}\end{aligned}}$

   ist

   ${}\Vert {p_{U}(v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,,$

   woraus die Stetigkeit mit Fakt folgt.

Zur bewiesenen Aussage