Lineare Abbildung/Normierte Räume/Stetigkeit/Charakterisierung/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ normierte ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Eigenschaft äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist stetig.
2. ${}\varphi$ ist stetig im Nullpunkt.
3. Die Menge

   ${\left\{\varphi (v)\mid v\in V,\,\Vert {v}\Vert =1\right\}}$

   ist beschränkt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen