Lineare Abbildung/Normierte Räume/Stetigkeit/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es gibt insbesondere für ein derart, dass aus

die Abschätzung

folgt. Aus

folgt dann wegen der skalaren Verträglichkeit

Von (3) nach (1). Sei eine obere Schranke für die Norm der Werte auf der Einssphäre. Sei gegeben. Es ist

Zu kann man also

wählen.