Lineare Abbildung/Normierte Räume/Stetigkeit/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es gibt insbesondere für ${}\epsilon =1$ ein ${}\delta >0$ derart, dass aus

{}\Vert {v}\Vert \leq \delta \,

die Abschätzung

{}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq 1\,

folgt. Aus

{}\Vert {v}\Vert \leq 1\,

folgt dann wegen der skalaren Verträglichkeit

{}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq {\frac {1}{\delta }}\,.

Von (3) nach (1). Es sei ${}C$ eine obere Schranke für die Norm der Werte auf der Einssphäre. Sei ${}v\in V$ gegeben. Es ist

{}{\begin{aligned}d(\varphi (v),\varphi (w))&=\Vert {\varphi (v)-\varphi (w)}\Vert \\&=\Vert {\varphi (v-w)}\Vert \\&=\Vert {v-w}\Vert \cdot \Vert {\varphi {\left({\frac {(v-w)}{\Vert {v-w}\Vert }}\right)}}\Vert \\&\leq \Vert {v-w}\Vert \cdot C.\end{aligned}}

Zu ${}\epsilon >0$ kann man also

{}\delta :=\epsilon /C\,

wählen.