Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Projektion/Korollare/Textabschnitt

Korollar

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei ${}T\subseteq V$ eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge.

Dann enthält ${}T$ einen eindeutigen Punkt ${}P\in T$, in dem die Norm ${}\Vert {P}\Vert$ (unter allen Punkten aus ${}T$) das Minimum annimmt.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei ${}U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem Punkt ${}Q\in V$ einen eindeutigen Punkt ${}P\in U$, für den der Abstand von ${}Q$ zu Punkten aus ${}U$ minimal wird.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei ${}U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem ${}v\in V$ eine eindeutige Darstellung

${}v=u+w\,$

mit ${}u\in U$ und ${}w\in U^{\perp }$.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Insbesondere gibt es zu einem abgeschlossener Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem Hilbertraum die orthogonale Projektion ${}p_{U}\colon V\rightarrow U$.