Hilbertraum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.

Endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume mit einem Skalarprodukt sind vollständig nach Aufgabe, also Hilberträume. Der Begriff ist insbesondere für unendlichdimensionale Vektorräume relevant.

Lemma

Ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ eines ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraumes ${}V$

ist genau dann ein Hilbertraum, wenn er abgeschlossen in ${}V$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$