Holomorphe Funktion/Betragsabschätzung/Koeffizientenabschätzung/Fakt/Beweis

Beweis

In der Situation von Fakt ist

${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,.$

Mit der Abschätzung

${}\vert {\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\vert \leq {\frac {B}{r^{n+1}}}\,$

erhalten wir mit Fakt

${}{\begin{aligned}\vert {c_{n}}\vert &={\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2\pi r\cdot {\frac {B}{r^{n+1}}}\\&={\frac {B}{r^{n}}}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage