Holomorphe Funktion/Kreisscheibe in sich/Schwarz/Fakt

Es sei

f\colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow U{\left(0,1\right)}

holomorph mit ${}f(0)=0$ .

Dann gilt

${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {z}\vert \,$

für alle ${}z$ und

{}\vert {f'(0)}\vert \leq 1\,.

Wenn in der ersten Abschätzung für ein ${}z\neq 0$ oder wenn in der Ableitungsabschätzung Gleichheit gilt, so ist ${}f$ eine Drehung.