Die Funktion ist wegen
auf der Kreisscheibe holomorph, und wegen
(Differenzenquotient)
-
ist der Wert von im Nullpunkt gleich . Auf dem Kreis mit als Mittelpunkt und mit Radius
ist
-
Da beliebig nahe an gewählt werden kann, ergibt sich die Abschätzung
-
was einerseits
und andererseits
impliziert.
Betrachten wir jetzt die Situation, in der
für ein
gilt. Dies bedeutet, dass die Funktion ihr Maximum im Punkt annimmt. Aus
dem Maximumsprinzip
folgt, dass konstant ist, also
mit einer Konstanten , deren Betrag gleich sein muss. Das Argument im Fall von Gleichheit in der Ableitungsabschätzung ist entsprechend.