Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Jacobiideal/Milnorzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Rechtsäquivalenz gibt es eine biholomorphe Abbildung ${}\varphi \colon U_{1}\rightarrow U_{2}$ und dadurch einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

$\varphi ^{*}\colon {\mathcal {O}}_{2}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{1},\,g\longmapsto g\circ \varphi ,$

(die Indizes beziehen sich auf die Räume, nicht auf die Dimension). Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten von ${}U_{1}$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ die Koordinaten von ${}U_{2}$. Nach der Kettenregel gilt die Beziehung

${}\left(Df_{2}\right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\,$

für ${}P\in U_{1}$ bzw., mit den partiellen Ableitungen und als Gleichheit von Funktionstupeln auf ${}U_{1}$ geschrieben,

${}\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial y_{1}}}\circ \varphi ,\,\ldots ,\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial y_{n}}}\circ \varphi \right)\cdot {\left(D\varphi \right)}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right)\,.$

Insbesondere gilt

${}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial y_{j}}}\circ \varphi \right)}\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\,$

im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{1}$ und das bedeutet

${}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}\in J_{f_{2}}{\mathcal {O}}_{1}\,$

für alle ${}i$, also

${}J_{f_{1}}\subseteq J_{f_{2}}{\mathcal {O}}_{1}\,.$

Wegen der Symmetrie der Situation gilt Gleichheit.

Zur bewiesenen Aussage