Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt/Beweis

Beweis

Da es sich um eine einfache isolierte Singularität im Nullpunkt handeln soll, verschwinden alle partiellen Ableitungen von im Nullpunkt. Der Rang der Hesse-Matrix ist nach Fakt zumindest . Nach Fakt ist rechtsäquivalent zu einer Funktion der Form

mit und wobei nur von den Variablen abhängt. Bei hängt sogar von weniger Variablen ab. In jedem Fall kann man in den beiden letzten Variablen und mit schreiben. Jede Entfaltung von ergibt unmittelbar eine Entfaltung von . Die dabei entstehenden (deformierten) Funktionen haben die Form . Wegen der Einfachheit von treten dabei nur endlich viele Singularitätsklassen (im Sinne der Rechtsäquivalenz) auf, sagen wir , , mit einer endlichen Indexmenge . Für jedes gibt es somit ein derart, dass und zueinander rechtsäquivalent sind. Nach Fakt sind dann und zueinander rechtsäquivalent. Dies bedeutet, dass ein einfacher Funktionskeim in zwei Variablen ist. Deren Rechtsäquivalenzklassen wurden in Fakt klassifiziert.

Wir müssen noch zeigen, dass die angegebenen Möglichkeiten wirklich einfach sind.