Homomorphismenraum/Evaluation an Basisvektoren/Isomorphismus/Linear/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}a,b\in K$ und ${}\varphi ,\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ . Dann ist

{}{\begin{aligned}F(a\varphi +b\psi )&=\left((a\varphi +b\psi )(v_{1}),\,\ldots ,\,(a\varphi +b\psi )(v_{n})\right)\\&=\left(a\varphi (v_{1})+b\psi (v_{1}),\,\ldots ,\,a\varphi (v_{n})+b\psi (v_{n})\right)\\&=a\left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{n})\right)+b\left(\psi (v_{1}),\,\ldots ,\,\psi (v_{n})\right)\\&=aF(\varphi )+bF(\psi )\end{aligned}}

und somit liegt eine lineare Abbildung vor. Die Abbildung ist bijektiv aufgrund von Fakt,

da ein

{}n

-Tupel

{}\left(w_{1},\,\ldots ,\,w_{n}\right)\in W^{n}

die willkürliche Vorgabe von Werten für die Basisvektoren

{}v_{1},\ldots ,v_{n}

bedeutet.