Hyperfläche/Glatt/Gauß-Abbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies folgt aus Fakt.
2. Klar.
3. Klar.
4. Die Rückrichtung ist klar. Zum Beweis der Hinrichtung sei der Einheitsnormalenvektor konstant gleich

   ${}v={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$

   Dann ist

   ${}\operatorname {Grad} \,h(P)=g(P)v\,$

   mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion ${}g\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$. Wir können ${}h$ durch ${}{\frac {h}{\Vert {h}\Vert }}$ ersetzen ohne ${}Y$ zu verändern. Dann ist nach Fakt

   ${}\operatorname {Grad} \,h(P)=\pm v\,$

   und daher

   ${}h(x_{1},\ldots ,x_{n})=\pm \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\,.$

   Die Faser zu ${}h$ auf ganz ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist ein affin-linearer Untervektorraum.

Zur bewiesenen Aussage