Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Christoffelsymbole/Bezug zu riemannscher Metrik/Fakt

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine zweifach stetig differenzierbare orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$ und sei ${}{\left(g^{kl}\right)}$ die inverse Matrix zu ${}g_{ij}$.

Dann gilt für die Christoffelsymbole

$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{1k}{\left(\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{1i}-\partial _{1}g_{ij}\right)}+{\frac {1}{2}}g^{2k}{\left(\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{2i}-\partial _{2}g_{ij}\right)}\,.$

Insbesondere kann man die Christoffelsymbole durch die Daten der ersten Fundamentalmatrix ausdrücken.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen