Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Gaußkrümmung/Bezug zu riemannscher Metrik/Brioschi/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$. Zeige, dass die Gaußsche Krümmung die Beziehung

${}K={\frac {1}{{\left(g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}\right)}^{2}}}{\left(\det {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\partial _{2}^{2}g_{11}+\partial _{1}\partial _{2}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{1}^{2}g_{22}&{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{11}&\partial _{1}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}\\\partial _{2}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}&g_{11}&g_{12}\\{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{22}&g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}&{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}\\{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}&g_{11}&g_{12}\\{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}&g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}\right)}\,$

gilt.

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