Hyperfläche/Weingartenabbildung/Tangentialraum/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}N(P)={\frac {\operatorname {Grad} \,h(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U$ definiert ist. Daher ist gemäß Fakt

${}{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}={\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}\,$

linear in der Richtung ${}v$. Wegen der Einheitsnormalenbedingung ist ${}\left\langle N(P),N(P)\right\rangle =1$ für alle ${}P\in U$ und daher ist unter Verwendung von Aufgabe

${}0={\left(D_{v}\left\langle N,N\right\rangle \right)}{\left(P\right)}=2\left\langle N(P),{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \,.$

Daher steht ${}{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}$ senkrecht auf ${}N(P)$ und gehört bei ${}P\in Y$ zum Tangentialraum ${}T_{P}Y$.

Zur bewiesenen Aussage