Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Logarithmische Ableitung/Aufgabe/Lösung

Bei ${}R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist

${}R^{\times }=\{1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}\,.$

Nach Fakt ist

${}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }\cong R/{\left(2{\mathrm {i} }\right)}\cong R/{\left(2\right)}\,,$

da ja ${}{\mathrm {i} }$ eine Einheit ist. Der Kählermodul besitzt die vier Elemente ${}0,d{\mathrm {i} },{\mathrm {i} }d{\mathrm {i} },(1+{\mathrm {i} })d{\mathrm {i} }$. Die logarithmische Abbildung bildet ${}-1$ auf ${}0$ (das gilt immer) und ${}{\mathrm {i} }$ ${}-{\mathrm {i} }$ auf ${}-{\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }$ ab.

Bei ${}R=\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}]\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}$ ist mit der primitivendritten Einheitswurzel

${}\zeta ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\,$

ist die Einheitengruppe gleich

${}R^{\times }=\{1,-1,\zeta ,-\zeta ,\zeta ^{2},-\zeta ^{2}\}\,.$

Nach Fakt ist

${}\Omega _{\mathbb {Z} [\zeta ]{|}\mathbb {Z} }\cong R/{\left({\sqrt {-3}}\right)}=R/{\left(2\zeta +1\right)}\,$

mit den drei Elementen ${}0,d\zeta =-2\zeta d\zeta =\zeta d\zeta ,2d\zeta$. Unter der logarithmischen Abbildung geht ${}1$ auf ${}0$, ${}\zeta$ auf

${}\zeta ^{-1}d\zeta =\zeta ^{2}d\zeta =-(\zeta +1)d\zeta =\zeta d\zeta =d\zeta \,$

und demnach ${}\zeta ^{2}$ auf

${}\zeta ^{-2}d\zeta ^{2}=2d\zeta \,.$

Die negierten Einheiten haben das gleiche Bild.

Für alle anderen imaginär-quadratischen Zahlbereiche ist nach Fakt

die Einheitengruppe gleich ${}\{\pm 1\}$ und dies wird auf ${}0$ abgebildet.

Zur gelösten Aufgabe